موضوع امتحان بكالوريا دورة جوان 2026 BAC : شعبة: علوم تجريبية، موضوع اختبار مادة الرياضيات لبكالوريا 2026:
|
الدورة: 2026 |
امتحان بكالوريا التعليم
الثانوي |
|
المدة: 03 سا و30 د |
الشعبة: علوم تجريبية اختبار في مادة: الرياضيات |
الموضوع الأوّل
التمرين
الأوّل: ( 04 نقاط )
I)
يحتوي كيس على 9 كرّيات متماثلة ولا نفرّق بينها بالّلمس منها: كرّيتان تحملان
الرّقم 1 وأربع كرّيات تحمل الرّقم 2 وثلاث كرّيات تحمل الرّقم 3. نسحب عشوائيا من
الكيس ثلاث كرّيات في آن واحد ونعتبر الحوادث:
A : «
سحب ثلاث كرّيات تحمل نفس الرّقم » ، B : « سحب ثلاث كرّيات أرقامها مختلفة مثنى
مثنى »
C : «
سحب ثلاث كرّيات مجموع أرقامها عدد زوجي »
1) أ)
احسب P(A) ، P(B) ، P(C) احتمالات الحوادث A ، B و C على الترتيب.
ب)
بيّن أن: P(A∩C) = 1/21 ثم استنتج P_A(C)
2) X
المتغيّر العشوائي الذي يرفق بكلّ عملية سحب ثلاث كرّيات، عدد الكرّيات التي تحمل
الرّقم 2
- عيّن
قانون احتمال المتغيّر العشوائي X ثم احسب أمله الرياضياتي E(X)
II)
نضيف إلى محتوى الكيس السّابق n كرّية تحمل الرّقم 1 ثم نسحب منه كرّيتين على
التوالي دون إرجاع.
- عيّن
قيمة n حتى يكون احتمال الحصول على كرّيتين لا تحمل أيٌّ منهما الرّقم 1 يساوي 1/5
التمرين
الثّاني: ( 04 نقاط )
I) حلّ
في المجموعة C المعادلة ذات المجهول z الآتية: (iz + 4)(z² - 4z + 16) = 0
II)
المستوي المركب منسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس (O; u⃗, v⃗) و A و B و C و D
نقط من المستوي لاحقاتها على الترتيب z_A ، z_B ، z_C ، z_D حيث: z_A = 4 ، z_B =
iz_A ، z_C = 2 - 2i√3 ، z_D = -iz_C
1) أ)
اكتب كلًا من z_B ، z_C ، z_D على الشّكل المثلثي.
ب) علم
أن النقط A و B و C و D تنتمي إلى نفس الدّائرة التي يُطلب تعيين مركزها ونصف
قطرها.
2) أ)
برّر أن: z_D - z_B = √3(z_C - z_A) ثم استنتج أن المستقيمين (BD) و (AC)
متوازيان.
ب)
بيّن أن: |z_B - z_A| = |z_D - z_C|
جـ)
استنتج طبيعة الرباعي ABDC ثم عيّن لاحقة النقطة G مركز ثقله.
3)
تحقّق أن: z_D - z_A = i(z_B - z_C) ثم عيّن الأعداد الطبيعية n حتى يكون ((z_D -
z_A)/(z_B - z_C))^n عددا حقيقيا.
التمرين
الثّالث: ( 05 نقاط )
1)
ادرس اتّجاه تغيّر الدّالة f المعرّفة على المجال ]-2; +∞[ بـ: f(x) = 4x/(x+2)
2)
(u_n) المتتالية العددية المعرّفة بـ: u_0 = 4 ومن أجل كلّ عدد طبيعي n ، u_{n+1}
= f(u_n)
أ)
احسب u_1 و u_2 ثم خمّن اتّجاه تغيّر المتتالية (u_n)
ب)
برهن بالتراجع أنه: من أجل كلّ عدد طبيعي n ، u_n > 2
جـ)
ادرس اتّجاه تغيّر المتتالية (u_n)
3)
(v_n) المتتالية العددية المعرّفة على N بـ: v_n = (u_n - 2)/u_n
أ)
أثبت أن المتتالية (v_n) هندسية أساسها 1/2 ، يُطلب كتابة v_n بدلالة n
ب) عبّر
عن u_n بدلالة n ثم احسب نهاية المتتالية (u_n)
4)
نضع: من أجل كلّ n من N ، S_n = v_0 + v_1 + ⋯ + v_n و T_n
= 1/u_0 + 1/u_1 + ⋯ + 1/u_n
- احسب
S_n بدلالة n ثم استنتج أن: T_n = (1/2)n + (1/2)^(n+2)
التمرين
الرّابع: ( 07 نقاط )
I) g
الدّالة المعرّفة على ]0; +∞[ بـ: g(x) = 2x - 2 - 4ln x
1)
ادرس اتّجاه تغيّر الدّالة g وشكّل جدول تغيّراتها.
2) أ)
احسب g(1) ثم بيّن أن المعادلة g(x) = 0 تقبل حلا وحيدا α في المجال ]3,5 ; 3,6[
ب)
استنتج حسب قيم x إشارة g(x)
II) f
الدّالة المعرّفة على ]0; +∞[ بـ: f(x) = x² + 2x - 4x ln x ، f(0) = 0 ومن أجل
كلّ x > 0
(c_f)
تمثيلها البياني في المستوى المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس (O; i⃗, j⃗)
1)
احسب lim_{x→0⁺} f(x)/x ، فسّر النتيجة هندسيا واحسب lim_{x→+∞} f(x)
2)
بيّن أنه: من أجل كلّ x > 0 ، f'(x) = g(x) ، ثم استنتج اتّجاه تغيّر الدّالة f
وشكّل جدول تغيّراتها.
3) أ)
بيّن أن (c_f) يقبل نقطة انعطاف A ، يُطلب تعيين إحداثيها.
ب)
عيّن معادلة لـ(T) المماس للمنحنى (c_f) عند النقطة ذات الفاصلة 2
4) أ)
ارسم (T) و (c_f) (ناخذ: f(α) ≃ 1,7)
ب)
عيّن بيانيا قيم الوسيط الحقيقي m حتى تقبل المعادلة f(x) = m ثلاثة حلول.
5) أ)
باستعمال المكاملة بالتجزئة، بيّن أن: ∫₁ᵉ x ln x dx = (e² + 1)/4
ب)
احسب A مساحة الحيّز المستوي المحدّد بـ(c_f) والمستقيمات التي معادلاتها: y = 0 ،
x = 1 و x = e
انتهى
الموضوع الأوّل
الموضوع الثّاني
التمرين
الأوّل: ( 04 نقاط )
I)
يحتوي كيس على 10 كرّيات متماثلة ولا نفرّق بينها بالّلمس ذات الألوان الأخضر،
الأحمر والأبيض.
نسحب
من الكيس بطريقة عشوائية كرّية واحدة ونعرّف قانون احتمال هذه التجربة بالجدول
الآتي:
|
بيضاء |
حمراء |
خضراء |
الكرّية المسحوبة |
|
2a |
a |
1/10 |
الاحتمال |
حيث a ∈ ℝ
- احسب
قيمة a ثم استنتج عدد كلٍّ من الكرّيات الخضراء، الحمراء، البيضاء.
II)
نفرض أن الكيس يحتوي على كرّية خضراء واحدة، 3 كرّيات حمراء و 6 كرّيات بيضاء.
نسحب
عشوائيا وفي آن واحد ثلاث كرّيات من هذا الكيس ونعتبر الحوادث:
A : «
الحصول على كرّية حمراء فقط » ، B : « الحصول على كرّيتين بالضبط من نفس اللّون
»
C : «
الحصول على ثلاث كرّيات كلّها ليست من نفس اللّون »
1) أ)
احسب P(A) ، P(B) ، P(C) احتمالات الحوادث A، B و C على الترتيب.
ب)
احسب احتمال الحصول على كرّيتين بيضاوين علما أننا لا نحصل على الكرّية الخضراء.
2) X
المتغيّر العشوائي الذي يرفق بكلّ عملية سحب ثلاث كرّيات، عدد الألوان التي تحملها
الكرّيات المسحوبة.
- بيّن
أن: P(X = 2) = 27/40 وعيّن قانون احتمال المتغيّر العشوائي X ثم احسب أمله
الرياضياتي E(X)
التمرين
الثّاني: ( 04 نقاط )
1)
نعتبر في المجموعة C المعادلة ذات المجهول z الآتية: (E) ... z² + αz + 4 = 0 حيث
α عدد حقيقي.
أ)
احسب (-1 + i√3)² ثم استنتج الجذرين التربيعيين للعدد -2 - 2i√3
ب)
عيّن α حتى يكون العدد المركب -1 + i√3 حلًا للمعادلة (E) ثم استنتج حلّها الآخر.
2)
نعتبر الأعداد المركبة z₁ و z₂ و z₃ حيث: z₁ = -1 + i√3 ، z₂ = -1 - i√3 و z₃ =
√2(1-i)
أ)
اكتب كلًا من z₁ ، z₂ ، و z₃ على الشّكل المثلثي.
ب)
استنتج الشّكل المثلثي للعدد المركب L حيث: L = (z₁ × z₃)/z₂
جـ)
اكتب L على الشّكل الجبري ثم استنتج القيمة المضبوطة لكلٍّ من cos(13π/12) و
sin(13π/12)
التمرين
الثّالث: ( 05 نقاط )
f
الدّالة المعرّفة على ]-∞; 3/2[ بـ: f(x) = (-6x + 2)/(2x - 3) و (c_f) تمثيلها
البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس (O; i⃗*, j⃗*) و (Δ)
المستقيم ذو المعادلة y = x
(u_n)
المتتالية العددية المعرّفة بـ: u_0 = 0 ومن أجل كلّ عدد طبيعي n ، u_{n+1} =
f(u_n)
1)
بقراءة بيانية، حدّد اتّجاه تغيّر الدّالة f وبرّر أنه: من أجل كلّ x من [-2; 0] ،
f(x) - x ≤ 0
2) أ)
انقل الشّكل على ورقة الإجابة ثم مثّل على محور الفواصل الحدود: u_0 ، u_1 ، u_2 ،
u_3 (دون حسابها مبرزا خطوط التمثيل).
ب)
خمّن اتّجاه تغيّر المتتالية (u_n) وتقاربها.
3) أ)
برهن بالتراجع أنه: من أجل كلّ عدد طبيعي n ، -2 < u_n ≤ 0
ب)
حدّد اتجاه تغيّر المتتالية (u_n)
4)
(v_n) المتتالية العددية المعرّفة على N بـ: v_n = (4 + 2u_n)/(1 - 2u_n)
أ)
أثبت أن المتتالية (v_n) هندسية أساسها 2/7 ، يُطلب كتابة عبارة v_n بدلالة n
ب)
عبّر عن u_n بدلالة n ثم احسب نهاية المتتالية (u_n)
5)
(w_n) المتتالية العددية المعرّفة على N بـ: w_n = ln(v_n)
أ)
بيّن أن المتتالية (w_n) حسابية، يُطلب تعيين أساسها وحدّها الأول.
ب)
بيّن أنه: من أجل كلّ n من N ، w_0 + w_1 + ⋯ + w_n = (1/2)(n+1)[(ln 2 - ln 7)n +
4ln 2]
التمرين
الرّابع: ( 07 نقاط )
f
الدّالة المعرّفة على ℝ* بـ: f(x) = 1 + (5 - 4eˣ)/(e²ˣ - 1) و (c_f) تمثيلها
البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس (O; i⃗, j⃗)
1)
احسب النهايات: lim_{x→-∞} f(x) ، lim_{x→0⁻} f(x) ، lim_{x→0⁺} f(x) ، lim_{x→+∞}
f(x) ثم فيّر النتائج هندسيا.
2) أ)
بيّن أنه: من أجل كلّ x من ℝ* ، f'(x) = 2eˣ(eˣ - 2)(2eˣ - 1)/(e²ˣ - 1)²
ب)
استنتج اتّجاه تغيّر الدّالة f ثم شكّل جدول تغيّراتها.
3)
بيّن أنه: من أجل كلّ x من ℝ* ، f(-x) + f(x) = -3 وفيّر النتيجة هندسيا ثم ارسم
المنحنى (c_f)
4) أ)
تحقّق أنه: من أجل كلّ x من ℝ* ، f(x) = -4 + (1/2)(9eˣ/(1+eˣ) - eˣ/(1-eˣ))
ب)
احسب بدلالة λ المساحة A(λ) للحيّز المستوي المحدّد بـ(c_f) والمستقيمات التي
معادلاتها: y = -4 ، x = λ و x = -ln 2 حيث: λ < -ln 2 ثم احسب lim_{λ→-∞} A(λ)
5) g
الدّالة المعرّفة على المجال ]1; +∞[ بـ: g(x) = f(ln x)
-
تحقّق أنه: من أجل كلّ x > 1 ، g(x) = (x-2)²/(x²-1) وحدّد اتّجاه تغيّر
الدّالة g ثم شكّل جدول تغيّراتها.
انتهى
الموضوع الثّاني
وفيما يلي موضوع البكالوريا :